MAKALAH PERSAMAAN DIFERENSIAL

Nama:

Indah Khairun Nisya

Mata Kuliah :

Matematika Dasar 2b

UNIVERSITAS GUNADARMA

ATA 2017/2018

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum wr.wb

Puji syukur kami panjat kan kepada Allah SWT. Karena atas ridho dan karunia-Nya saya dapat membuat makalah tentang Persamaan Diferensial sebagai tugas untuk mata kuliah Matematika Dasar 2B.

Saya bersyukur memiliki kedua orang tua yang senantiasa mendukung saya dalam melakukan pembelajaran di jenjang pendidikan tinggi sebagai bekal saya kelak di masa depan untuk memajukan negara demi kebaikan bangsa.

Dan terakhir saya ucapkan terimakasih sebesar – besarnya kepada Bapak Ambar Dewayono selaku dosen mata kuliah Matematika Dasar 2B di Universitas Gunadarma, atas bimbingannya selama pembuatan makalah ini.

Namun tidak lepas dari semua itu, saya menyadari sepenuhnya bahwa ada kekurangan baik dari segi penyusunan bahasa maupun dari segi lain. Dengan lapang dada, saya membuka kesempatan bagi para pembaca untuk menyampaikan kritik dan saran guna menyempurnakan makalah ini.

Demikian kata pengantar dari saya. Saya berharap makalah tentang Industri Hoax ini dapat dijadikan referensi dan sumber dalam kegiatan pembelajaran pembaca di masa yang akan datang.

Waalaikumsalam wr. wb

Depok, 3 Juli 2018

DAFTAR ISI

2.1 Pengertian Persamaan Diferensial

2.2 Persamaan Deferensial Biasa

2.3 Persamaan Diferensial Linier dan Non Linier

2.4 Solusi Persamaan Deferensial

2.5 Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

BAB I

PENDAHULAN

1.1 Latar Belakang

Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diberikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan differensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan differensial.

Teori persamaan differensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan differensial biasa (PDB) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan differensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Persamaan differensial parsial (PDP) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan differensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan differensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan differensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran.

Baik persamaan differensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan differensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.

Melihat seberapa besar penting persamaan differensial dari berbagai macam ilmu, baik dalam bidang SAINS maupun teknologi. Maka kami menulis makalah yang berjudul persamaan differensial linier orde satu. Tidak hanya itu makalah ini dibuat sebagai salah satu kelengkapan mengikuti mata kuliah persamaan differensial biasa yang telah ditugaskan oleh dosen pengasuh mata kuliah tersebut.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah agar penguraian makalah lebih terarah dan terfokus maka rumusan masalahnya adalah :

1. Pengertian Persamaan Diferensial

2. Persamaan Deferensial Biasa

3. Persamaan Diferensial Linier dan Non Linier

4. Solusi Persamaan Deferensial

5. Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

1.3 Tujuan

1. Untuk Mengetahui Pengertian Persamaan Diferensial

2. Mengetahui Persamaan Diferensial Biasa

3. Mengetahui Persamaan Diferensial Linier Dan Non Linier

4. Mengetahui Solusi Dari Persamaan Diferensial

5. Mengetahui Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persaman matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang mengubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde.

Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang dan metode yang digunakn bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namus secara umum bisa juga berupa fungsi bektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial bisa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefenisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik dan parabolik terutama untuk persamaan diferensial linier orde dua, sangatlah penting. Beberapa persamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi dan dinamakan sebagai jenis campuran.

Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunanannya muncul dalam pangkat satu (hasil kali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.

2.2 Persamaan Deferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa (PDB) Ordinary Differential Equations (ODE) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Peubah bebas biasanya disimbolkan dengan x. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial bisa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut dan turunannya merupakan turunan biasa.

Contoh persamaan diferensial biasa :

+ xy = 0

– xy = 0

+ 6y =

+ xy² = 1

Contoh tersebut merupakan persamaan diferensial biasa, karena variabel tak bebas y hanya bergantung pada variabel bebas x.

2.3 Persamaan Diferensial Linier dan Non Linier

Persamaan diferensial linier memenuhi dua hal berikut :

1. Variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak terdapat fungsi transenden dalam bentuk peubah tak bebas, serta a_n(x) adalah fungsi kontinu.

2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan.

Jadi istilah linier berkaita dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persmaaan diferensial itu, peubah-peubah y,

, , yⁿ berderajat satu atau nol.

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde-n adalah :

a_n (x) yⁿ + a_n-1(x) y^n-1 + ... + a₁(x)

+ a₀(x) y = f (x)

dimana a₀, a₁, ..., a_n,f merupakan fungsi dari x.

Contoh :

- 2

+ y = 0

= x

- 2y + x³

– 4x

+ 6y +e^x

Persamaan diferensial non linier

Persamaan diferensial F( x,

, ...,

) = 0 adalah persamaan differensial non linier jika salah satu dari berikut dipenuhi oleh F :

1. F tidak berbentuk polinim dalam y,

2. F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam y,

Contoh :

1. y

= 0 ; persamaan diferensial non linier krena F(x, y,

)

2. sin xy

+ cos

= 0 ; non linier karena F tak berbentuk polinom dalam y,

2.4 Solusi Persamaan Deferensial

1. Metode Euler

Perhatikan bentuk persamaan differensial berikut:

y' = f (x, y)

Dengan menggunakan pendekatan nilai awal (x₀,y₀), maka nilai-nilai y berikutnya dapat diperoleh dengan :

y_n+1= y_n + h.f (x_n , y_n)

Contoh :

Diketahui persamaan differensial berikut:

+ xy = 1

Maka :

y' = 1− xy atau f (x, y) = 1− xy

2. Metode Taylor

Metode Taylor adalah suatu metode pendekatan yang menggunakan deret Taylor sebagai bentuk perbaikan nilai untuk nilai fungsi secara keseluruhan pada penyelesaian persamaan differensial. Perhatikan fungsi dari persamaan diferensial berikut : y' = f (x, y)

Dengan memberikan nilai pendekatan awal (x₀,y₀), penyelesaian dapat diperoleh dengan :

y(x) = y₀+ (x –x₀) y' (x₀) +

(x₀) + ... +

y^(k)(x₀)

Contoh :

Diketahui persamaan diferensial :

+ y = sin x

Maka : y' = sin x − y atau f (x, y) = sin x – y

(x, y) = f_x +f_y y' = cosx – (1) (sinx –y)

= cosx – sinx + y

y(3) = -sinx – cosx + (1) (sinx – y)

= -cosx – y

Dengan pendekatan awal (0,0) maka untuk x = 1, nilai y dapat dihitung dengan :

Y = 0 + (1 – 0) [sin(0) – 0] +

[cos(0) – sin(0) + 0] +

[-cos(0) -0) =

Catatan:

Pemakaian metode Taylor tidak banyak digemari karena diperlukan perhitungan yang

cukup rumit dalam penyelesaiannya. Tetapi metode ini dapat menunjukkan hasil yang

bagus pada beberapa permasalahan penyelesaian persamaan differensial.

3. Metode Runge Kutta

Metode Runge-Kutta merupakan pengembangan dari metode Euler, dimana

perhitungan penyelesaian dilakukan step demi step. Untuk fungsi dari persamaan

differensial : y' = f (x, y)

Dengan titik pendekatan awal (x₀,y₀), berdasarkan metode Euler nilai fungsi

penyelesaian diperoleh dengan :

y_n+1= y_n + h.f (x_n,y_n) atau

y_n+1 = y_n + dy

dimana dy adalah nilai perubahan nilai fungsi setiap step

4. Metode Bernoulli

Bentuk umum dari persamaan diferensial Bernoulli adalah :

+ P(x) y = Q(x) yⁿ

Persamaan Bernoulli akan tereduksi ke persamaan linier orde satu dengan Transformasi :

z =

= (-n +1) y^-n .

= (1 - n) yⁿ .

Persamaan linier orde satu

= (1 - n) P(x) y^-n = (1 - n) Q(x)

= (1 - n) P(x) z = (1 – n) Q(x)

Dengan faktor integrasi :

Solusi umum :

z =

dx + c

2.5 Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.

Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam

persamaan tersebut.

· Penyelesaian PDB Orde Satu dgn Integrasi Langsung

Jika PDB dapat disusun dalam bentuk

= f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

Contoh :

= 3x² – 6x + 5

Maka

y =

= x³ – 3x² +5x + c

· Penyelesaian PDB Orde Satu Dengan Pemisahan Variabel

Jika persamaan deferensial berbentuk

= f(x,y), yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, maka penyelesaiaannya dengan cara memisahkan variabelnya senhingga faktor ‘y’ bisa kita kumpulkan dengan ‘dy’ dan faktor ‘x’ dengan ‘dx’.

Contoh : selesaikan persamaan diferensial berikut

= (1 + x) (1 +y)

Pisahkan berdasarkan variabelnya untuk mendapatkan :

= (1 +x)dx

Jika kita integrasikan kedua ruas menjadi :

ln(1 + y) = x +

x² +c

· Persamaan Homogen substitusi y = vx

Tinjau persamaan diferensial :

Persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara memisahkan variabelnya. Dalam hal ini kita laikukan subsitusi y = vx, dengan v adalah fungsi x. Sehingga penyelesaiannya :

Dari y = vx dideferensialkan menjadi :

= v + x

Sehingga :

Persamaan sekarang menjadi :

v + x

– v =

kedua ruas diintegrasikan menjadi :

2ln(1 + v) = lnx +c

(1 + v)² = c . x

Substitusi yang didapatkan :

(1 +

)²= c . x atau (x + y)² = c . x³

· Persamaan Diferensial Linier dalam bentuk

Untuk PD yang berbentuk

dengan P dan Q fungsi x atau konstanta penyelesaiannya dapat diperoleh dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integrsi

Contoh :

Penyelesaian :

Dari persamaan diperoleh P = -1 dan Q = x

Faktor integrasinya

Jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan

maka :

– y) =

{

→ d {

Sehingga penyelesaiannya :

y = -x – 1 + c /

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial terbagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.

Didalam persamaan diferensial biasa, dipelajari tentang konsep persamaan diferensial linear dan Persamaan diferensial linear orde satu. Persamaan diferensial linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Sedangkan Persamaan diferensial linear orde satu adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu dimana turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut adalah satu.

Bentuk persamaan diferensial linear

Bentuk persamaan diferensial linear orde satu

Persamaan diferensial sangat menarik dipelajari, karena persamaan diferensial memegang peranan penting dalam berbagai macam ilmu. Oleh karena itu sangatlah penting bagi kita untuk memahami persamaan diferensial, khususnya persamaan diferensial linear orde satu.

3.2 Saran

Sebaiknya kita harus memahami dan mengerti tentang persamaan diferensial linear orde satu baik dari bentuk umumnya sampai pada penyelesaiannya. Karena dengan menguasai persamaan diferensial linear orde satu, kita akan lebih mudah menyelesaikan permasalahan dalam persamaan diferensial biasa. Selain itu, kita juga harus paham tentang teknik – teknik turunan maupun teknik pengintegralan yang pernah dipelajari pada mata kuliah kalkulus sebelumnya. Hal ini agar dapat mempermudah dalam menyelesaikan soal – soal persamaan diferensial biasa, karena dalam persamaan diferensial sangat berkaitan dengan turunan dan integral.